您现在的位置:首页 > >

高中数学《求椭圆焦点三角形四心地轨迹方程》地教学设计课题


实用标准文案

《求椭圆焦点三角形四心的轨迹方程》的教学设计
一、 指导思想与理论依据

数学在其自身的发展过程中,充满了合情推理和逻辑推理的过程,充满了数 学实验的过程.如何使学生在数学学习中,受到数学文化的熏陶,体验到数学思 想、方法的美妙,进而使思维品质得到有效的锻炼、逐步形成“数学的看世界” 的思维方式呢?本人经过多年的思考和教学实践证明: “经历”是最好的训练手 段.在数学问题的解答、研究过程中,让学生经历“动手、动脑、猜想、修正猜 想、验证猜想、严格证明、拓展研究”的数学问题解决、发展的全过程,即合情 推理、逻辑推理、数学实验的过程,可以强化学生的种种“感受” ,是使学生“掌 握知识、技能,提高能力,形成‘数学的看世界’的思维方式”好方法之一. 结合教学内容, 为了使学生能够更深刻的感知问题背景,为了使猜想更加令 人信服,为了更深刻挖掘教学的资源,提高教学效果,本节课使用多媒体课件作 为辅助手段(只靠粉笔、黑板是绝不可能达到的) . 二.教学背景分析 1.教学内容分析 由于“通过几何图形性质的坐标形式,求出某些动点的轨迹方程” ,是解析 几何的基本问题之一;由于对“椭圆焦点三角形的性质”的有关问题的解决,要 用到初中、高中的代数、三角和平面几何的知识,对这类问题的解决能有效的体 现学生综合运用知识解决问题的能力,因此,它在高考试题中也是“上式率”比 较高的内容.所以,对椭圆焦点三角形四心轨迹方程的研究是非常必要的. 2.学生情况分析 这是一节解题方法探索课. ⑴知识方面: 学生刚刚学完圆锥曲线的知识,对椭圆的基本性质掌握的比较 好; 初中学的三角形内心的性质已经淡忘, 布置学生课下复习或从网上搜集材料; “求轨迹方程”的方法学生刚刚学完,中等、中下等学生运用的不太熟练,课前 需要简单的复习. ⑵能力方面:多数同学能够解决一些“求轨迹方程”的简单问题,但是,对
精彩文档

实用标准文案

利用画图、轨迹经过的特殊点进行合情推理(猜想、验证)的运用意识和能力不 强;综合运用知识解决问题的能力有待提高.为此,我设计了这样一节“解题方 法探索”课,以进一步提高学生数学学习能力. ⑶学生可能的问题: 由于受手画椭圆准确程度的限制, 学生可能猜不出轨迹, 这时需要课件适时的演示,加以确认;认可轨迹是椭圆后,容易把猜想出的轨迹 方程当作所求方程;缺乏严格论证的意识,需要教师加以阐明;中等、中下等学 生对给出的知识、方法不会合理应用,需要教师的课上单独辅导(只能是少数的 学生) . ⑷教学软件:由于教师经常使用《几何画板》软件制作的课件授课,所有学 生对《几何画板》软件有一定的了解(多数学生已经安装在自己的计算机上) . 3.教学方式与教学手段 (1)教学方式的采用: 根据本节的教学内容以及学生的知识结构、心理特点,我采用“启发方法、 引导猜想,让学生动手实验、动脑探索”的教学方法,让学生经历“数学实验、 合情推理、逻辑推理”过程,充分体现学生的主体作用,达到强化学生的 “感 受” ,使学生“掌握知识、技能,提高能力. (2)教学手段的采用 为了更有效地突出本节课 “探索” 的特点, 为了更有效地突出研究 “几何学” 的方法,采用多媒体作为辅助的教学手段,利用《几何画板》的强大的绘图功能 及其动态演示,提高学生对图形的认识,引发学生对问题更深入的思考. ⑴ 用课件演示椭圆动态的形成过程和规范的图形,有利于帮助学生建立准 确的图象印象和空间想象力, 有利于学生正确理解椭圆的性质,有利于学生理解 数学对“运动、变化”规律的研究方法.这是粗糙的手绘图形所不能相比的. ⑵ 学生通过画图、观察只能有一部分同学猜出椭圆焦点三角形内心的轨迹 是椭圆,多数同学对需要准确的图形来印证,图形连续变化形成轨迹的过程,更 具有可信度, 间断、 粗糙的手绘图形说服力不够 (尤其对数学学习有障碍的学生) . ⑶ 学生画椭圆的时候 , 经常出现的问题是 : 在长轴顶点位置不光滑或太 “尖” ;焦距、长轴的比例与离心率不符;掌握不好焦点与准线的位置,……, 这些都应当在准确的图形中加以说明.
精彩文档

实用标准文案

⑷ 利用课件中准确的椭圆焦点三角形外心的轨迹,讲解更简单、明了,对 学生思路的启发效率更高. ⑸课件中椭圆焦点三角形四心的同时运动,可以自然、流畅的把欧拉线问题 引入;通过将问题类比到双曲线、抛物线中去,使问题研究的方法、范围自然、 流畅的引向它处, . 4. 信息技术准备 运行软件: 《几何画板》 , 《powerpoint》 ,WINDOWS98 以上操作系统。 利用《几何画板》软件制作:动态椭圆、动态焦点三角形及其内心轨迹的课 件,使图形更直观、形象,猜想更可信.同时,激发学生的学习欲望,引发更深 科的思考;利用实物投影展示学生的思路,促进学生之间的交流. 三. 教学目标及内容框架设计

1.教学目标 a.通过实验、观察、分析、猜想、验证的过程,巩固基础知识和基本技能; b.通过寻求解题方法的过程,使学生体验数学科思考问题、研究问题的方 法; c.通过严格的论证过程,使学生体验数学理性思维的本质特征; d.通过对原问题的不断挖掘、研究,培养学生科学的思维方法和积极探索 的精神. 2.内容框架设计 本课是对书本知识的延伸、基本方法的巩固,以及思维能力的训练. 课堂内容包括: 复习求轨迹方程的基本方法; 展示动态的椭圆焦点三角形, 给出问题,引发猜想;学生实验、探索过程;展示所求轨迹,确认猜想;严格 论证;进一步的研究.

精彩文档

实用标准文案

教学过程设计 教学 过程 复 习 引 入 教师活动 ⒈能把你复习到了解或从网上找到的“三角形角平分线和内 心的性质”告诉我们吗? ⑴三角形 ABC 中,AD 平分∠CAB, 则 AB ? BD
AC CD

学生活动

设计意图

可 以 查 笔 回忆知识, 记, 也可以 提高速度。 互相交流. 保留板书

1 (a ? b ? c )r (r 是三角形内切圆的半径) 2 ⒉如何求动点的轨迹方程:求动点的轨迹方程,既求出动点 横、纵坐标的关系式; 具体方法有: 利用圆锥曲线的定义; 利用已知点的轨迹方程; 利用所给图形的性质;引进新的参数. [展示动态背景,提出问题] 观察、 思考 ⒈展示椭圆的形成过程 ⒉展示椭圆焦点三角形的 运动过程
⑵S ? 图(1) ⒊提出问题:

由动态图 形,降低形 象力要求, 直接观察 就可以猜 想.

x2 y2 椭圆: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦点三角形内心的轨迹及 a b
其方程是什么? 新 课 讲 解 [启发思考,引导猜想] ⒈你能猜出它的轨迹 吗?通过什么进行猜 想? ⑴ 画图: 画出几个不同 位置的内心, 光滑连接. 图(2) ⑵ 直接从运动的图中观察. ⒉你能猜出它的轨迹方程吗?通过什么进行猜想? ⑴通过轨迹与 x 轴、y 轴的交点. 学生动手 画图、验 算: 由轨迹通 过的特殊 点.

学生动手 画图;或继 续观察课 件.得出: 仍然是一 个椭圆.

启发、引导 学生画图、 演算

x2 y2 ⑵猜想:方程 2 ? ? 1. c b2c 2 (a ? c) 2

适时演示 课件,确认 学生的猜 想,时间不 能过长.

精彩文档

实用标准文案

[展示轨迹,验证猜想]

翘首以待. 多 方 面 验 证猜想正 确后,再考 虑证明.

图(3) ⒈ 确实象一个椭圆. ⒉ 通过原椭圆的焦点,与 y 轴的交点坐标如何求的? 学生证明. 运 用 初 中 并 展 示 交 知识,并为 流. 后面的证 明作好准 备.

新 课 讲 解

图(4) 提示:利用三角形角平分线的性质和椭圆的知识. [理性思考,严格论证] ⒈ 你有充分理由说明这个椭圆焦点三角形的轨迹是椭圆 吗? ——不能通过椭圆的两个定义说明. ⒉这个方程可靠吗? ——在没有说明是椭圆的时候,这个方程也不可靠.

思考问题, 可以交流. 巩固基础 知识,同时 思考问题, 感 受 数 学 可以交流. 理 性 思 考 特征.

⒊如何说明它的轨迹是椭圆呢? ——通过方程.

思考问题, 可以交流.

⒋如何正确的求出它的轨迹方程? ——借助点 P 的轨迹方程.

独立思考, 设计方案, 稍后交流.

展示学生解答过程

精彩文档

实用标准文案

解: 如图 ( 5) , 设点 P ?x 0 , y0 ? , 内 心 I 为 ( x , y) , 焦 点

利用前面 所学知识 求解.

F1 (?c ,0) 、F2 (c ,0) , PF1 ? r1 ,

PF2 ? r2 ,则 r1 ? r2 ? 2ex0 .

图(5)

综合运用 三角形内 心的性质、 椭圆的定 义及椭圆 的性质和 基本方法 解题.

过内心 I 作 ID、IE、IF 垂直 F1 F2、F1 P、PF2 于点 D、E、F . ∵ 点 I 是△ F1 F2 P 的内心,点 D、E、F 是切点,

? PE ? F1 E ? r1 ? ∴ 得方程组 ? PF ? F2 F ? r2 , ? F D ? F D ? 2c 2 ? 1
结合 r1 ? r2 ? 2ex0 ,解得: F1 D ? c ? ex0 . 而 F1 D ? c ? x ,∴

思考问题, 可以交流.

x ? ex0 ,既 x 0 ?

x .………① e

又∵ △ F1 F2 P 面积 S ? c y0 , 新 课 讲 解

1 ( F1 F2 ? PF1 ? PFF ) y ? (a ? c) y , 2 a?c y .……………② ∴ c y0 ? (a ? c) y ,既 y 0 = c S?
将①②代入
2 2 x0 y0 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

① 式 得 出的难度 教大,应及 时引导.



x2 y2 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦点 .可知,椭圆 ? ? 1 a2 b2 c2 b2c 2 (a ? c) 2

三角形内心的轨迹是一个椭圆. [方法小结,巩固练习]

得出②式 的方法很 多,可以交 流. 独立思考, 课 堂 巩 固 设计方案, 知 识 、 方 稍后交流. 法、解题过 程.

x2 y2 椭圆: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦点三角形外心的轨迹及其 a b

b2 ? c2 方程是什么?( | y |? ) 2b

精彩文档

实用标准文案

课 堂 小 结

[课堂小结,拓展问题] ⒈本节课你对哪些知识、方法有比较深的体会? ⒉再遇到新的“求动点的轨迹方程”的问题,你知道怎样去 思考,怎样寻找解题的“突破口”吗? ⒊你能结合本节课的内容和以前学过的知识,提出一个新的 问题吗? [因人而异,自选作业]请你自选一道题,作为今天的作业. ⒈椭圆:

回 顾 反 思,提出 问题.

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦点三角形重心、垂心的 a2 b2

因 人 而 异.

作 业

轨迹及其方程是什么?

x2 y2 ⒉双曲线: 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 焦点三角形内心的轨迹及 a b
其方程是什么?

教学过程流程图 开始 展示问题情景 引出椭圆焦点三角形 由特殊点. 验证猜想 由画图 严格论证 巩固练习 引发猜想,引出作图

课堂小结 四. 学习效果评价

拓展问题

自选作业

本节课,在教师引导学生对“椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦点三角形内心的轨迹 a2 b2

及其方程”的实验、观察、猜想、验证、论证的过程中,学生积极地投入到学习 活动的各个环节,充分体现了学生在学习活动中的主体地位,椭圆的基础知识、 求轨迹方程的基本方法得到巩固和强化,综合运用知识解决问题的能力得以提 高;合理的教学结构设计,使课堂气氛活跃,学习氛围融洽,学生思维量大,学 生智力得到有效开发;特别是,学生在“实验、观察、猜想、验证、论证”的过 程中,体验到了合情推理在数学发现、发展过程中的地位,体验到数学学科理性 思考的特征,体验到数学家们“一丝不苟,严谨求实,善于探索”的优良品质; 课后学生们都说“这样的课有意思” ,对数学问题探索的方式、方法,表现出了

精彩文档

实用标准文案

极大的兴趣. 本节课是邱老师把自己对这个问题的研究过程,经过分析、提炼、删减、组 合设计而成的一节课,充分体现了“研究、教学、学习共同发展”给课堂教学带 来的活力, 使这节课能力立意突出,充分体现了数学课上培养学生能力的特征和 途径.

精彩文档



友情链接: 医学资料大全 农林牧渔 幼儿教育心得 小学教育 中学 高中 职业教育 成人教育 大学资料 求职职场 职场文档 总结汇报