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福建省福州市第八中学2014届高三上学期第二次质检数学文试题Word版含答案

发布时间:

福州八中 2013—2014 高三毕业班第二次质量检查
数学(文)试题

考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

2013.10.8

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:( 每小题 5 分,共 60 分. 在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一

项符合题目要求,在答题纸的相应区域内作答)

? ? 1.已知全集U ? R ,集合 A ? x | x2 ?1 ,那么 CU A 等于

A. (??, ?1)

B. (?1,1)

C. ??1,1?

D. (1, ??)

2. 对任意实数 a,b,c,在下列命题中,真命题是

A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件

B.“ac=bc”是“a=b”的充分条件

C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件

D.“ac=bc”是“a=b”的必要条件

3.全称命题: ?x ? R, x2 ? 5x ? 4 的否定是

A. ?x ? R, x2 ? 5x ? 4

B. ?x ? R, x2 ? 5x ? 4

C. ?x ? R, x2 ? 5x ? 4

D.以上都不正确

4. 已知两个函数 f (x) 、 g(x) 的定义域和值域都是集合{1, 2, 3},且满足下表:

则方程 g( f (x)) ? x 的解集为

x

123

x

123

A. {1} C. {3}

B. {2}
D. ?

f(x) 2 3 1

g(x) 3 2 1

5.下列函数中既不是奇函数,也不是偶函数的是

A. y ? 2|x|

B. y ? lg(x ? x2 ?1)

C. y ? 2x ? 2?x

D. y ? lg 1
x ?1

6.函数 f (x) ? ln(x ?1) ? 2 的零点所在的可能区间是
x

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

7. 已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且 x∈(0,1)时, f (x) ? 2x ?1 ,则 f (log2 12) 的

值为

A. 1

B. 4

C. 2

3

3

D. 11

8.设函数

f

(

x)

?

sin

? ??

2x

?

? 4

? ??

?

cos

? ??

2

x

?

? 4

? ??

,则

A.

y

?

f

(x)



? ??

0,

? 2

? ??

上单调递增,其图象关于直线

x

?

? 4

对称

B.

y

?

f

(x)



? ??

0,

? 2

? ??

上单调递增,其图象关于直线

x

?

? 2

对称

C.

y

?

f

(x)



? ??

0,

? 2

? ??

上单调递减,其图象关于直线

x

?

? 4

对称

D.

y

?

f

(x)



? ??

0,

? 2

? ??

上单调递减,其图象关于直线

x

?

? 2

对称

9.定义运算

a

?

b

?

?a, ??b,

a a

? ?

b; b,

则函数

f

(x)

?1?

2x

的图象是

10.设向量 a 与 b 的夹角为 θ, a =(2, 1), a +2 b =(4, 5), 则 cos θ 等于

A. 10 10

B. 3 10 10

C. 3 5

D. 4 5

11.若 1 ? 1 ? 0 , 则下列不等式: ab

① 1 ? 1 ;②| a | ?b ? 0 ;③ a- 1 > b-1;④ lna2 ? lnb2 中,其中正确的是

a+b ab

ab

A. ①④

B. ②③

C. ①③

D. ②④

? ? 12.定义两个实数间的一种新运算“ ? ”: x ? y ? lg 10x ?10y , x, y ? R .对任意实

数 a,b, c ,给出如下结论:
① ?a *b?*c ? a *?b*c?;

② a*b ? b*a ;
③?a*b??c ? ?a ?c?*?b?c? ;

其中正确的个数是

A. 0

B.1

C.2

D.3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应

位置.

-x2-3x+4

13.函数 y =

x

的定义域为

.

14.



x

?

? ??

0,? 2

? ??

,则函数

y

?

2sin2 x ?1 的最小值为 sin 2x

.

15.若函数 f (x) 为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又 f (2) ? 0,则 f (x) ? f (?x) <0 x

的解集为

.

16.观察下列等式:

1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15 13=1

… 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 13+23+33+43+53=225

… 可以推测:13+23+33+…+n3=

(n∈N*,用含有 n 的代数式表示).

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步

骤.

17. (本小题满分 12 分)

在△ABC

中,

三个内角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c,



a

c ?

b

?

b

a ?

c

? 1 ,试问

A、B、C 是否成等差数列, 若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列, 请给出证明.

18. (本小题满分 12 分)
已知 x ? 0,y ? 0 ,且 2x ? 8y ? xy ? 0 ,求(1) xy 的最小值. (2) x ? y 的最小值.

19.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? 2 sin?( x? ? )?( ? 0?, ?? 在) 一个周期内的图象如图所示, 2
M,N 是 图 象 与 x 轴 的 交 点 , P 是 图 象 与 y 轴 的 交 点 ,

PM ? 2, PN ? 7, cos ?MPN ? 7 .

14

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期及点

y

P 的坐标;

P

(Ⅱ)求函数 g(x) ? f (x) ? f (?x) 的单调

x

MO

N

递减区间.
20. (本小题满分 12 分)
已知函数 g ? x? ? x , f ? x? ? g ? x? ? ax ?a ? 0? .
ln x
(I)求函数 g ? x? 的单调区间; (II)若函数 f ? x?在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;

21. (本小题满分 12 分)
已知?an? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55,a2 ? a7 ? 16 . (1)求数列?an? 的通项公式; (2)若数列?an? 和数列?bn? 满足等式 an =b21+b222+b233+…+b2nn (n 为正整数),求数列 ?bn? 的前 n 项和 Sn .

22.(本小题满分 14 分)

某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业

? 1 (1 ? x ? 20, x ? N*)

在经销这个产品期间第 x 个月的利润

f

(x)

?

? ?1 ??10

x

(单位:万元), (21 ? x ? 60, x ? N*)

为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第 x 个月的当

月利润率

g(x)

?

第x个月的利润 第x个月前的资金总和

,例如:

g(3) ? 81 ?

f (3) f (1) ?

f (2)



(Ⅰ)求 g(10) ;
(Ⅱ)求第 x 个月的当月利润率 g ? x?;
(Ⅲ)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.
福州八中 2013—2014 高三毕业班第二次质量检查

一、选填题:

数学(文)试卷参考答案及评分标准

BDCCDB ADADCD [? 4, 0 ) ,( 0 1 ] 3 (-2,0)∪(0,2)

n2(n+1)2

二、解答题:

17.解:A、B、C 成等差数列.

证明如下:



a

c ?

b

?

b

a ?

c

?1,

∴c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

∴b2=a2+c2-ac.

在△ ABC 中,由余弦定理,

..............2 分
..............4 分 ..............6 分

得 cos B

?

a2

? c2 ? b2 2ac

?

ac 2ac

?

1 2

,

∵0°<B<180°,∴B=60°.

∴A+C=2B=120°,

∴A、B、C 成等差数列.

..............9 分 ..............10 分
..............12 分

18.【思路点拨】把 2x+8y-xy=0 转化为 8 ? 2 ? 1即可. xy

【解析】(1)由 2x+8y-xy=0,得 8 ? 2 ? 1, ..............2 分 xy

又 x>0,y>0,

则1 ? 8 ? 2 ? 2 8 2 ? 8 ,得 xy≥64,..............5 分 x y x y xy

当且仅当 8 ? 2 ,即 x=16,y=4 时,等号成立. ..............6 分 xy
所以 xy 的最小值为 64. (2)由 2x+8y-xy=0,得 8 ? 2 ? 1,
xy

则 x+y=( 8 ? 2 )·(x+y) ? 10 ? 2x ? 8y ? 10 ? 2 2x 8y ? 18. ..............10 分

xy

yx

yx

当且仅当 2x ? 8y , 且 8 ? 2 ? 1,即 x=16,y=4 时,等号成立, y x xy

∴x+y 的最小值为 18.

..............12 分

19.

21.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则依题意知 d>0, 由 a2+a7=16,得 2a1+7d=16,① 由 a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55,②

由①得 2a1=16-7d,将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220, 即 256-9d2=220.∴d2=4,又 d>0,

∴d=2,代入①得 a1=1, ∴an=1+(n-1)·2=2n-1.

..............4 分

(2)∵当 n=1 时,a1=b21,∴b1=2.

..............5 分

当 n≥2 时,an=b21+b222+b233+…+b2nn--11+b2nn,

an-1=b21+b222+b233+…+b2nn- -11,

两式相减得 an-an-1=b2nn,∴bn=2n+1,

..............8 分

∴bn=?????22n,+1n,=n1≥,2.

..............9 分

当 n=1 时,S1=b1=2; 当 n≥2 时,Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+b2

-2n-1 1-2

..............10 分 =2n+2-6,..............11 分

当 n=1 时上式也成立.

综上,当 n 为正整数时,Sn=2n+2-6.

..............12 分

22.解: (Ⅰ) 由题意得 f (1) ? f (2) ? f (3) ?

? f (9) ? f (10) ? 1

g(10) ?

f (10)

?1



81? f (1) ? ? f (9) 90 .………………………2 分

(2)当1 ? x ? 20 时, f (1) ? f (2) ? ? f (x ?1) ? f (x) ? 1

g(x) ?

f (x)

? 1 ?1



81? f (1) ? ? f (x ?1) 81? x ?1 x ? 80 .----------4 分

当 21 ? x ? 60 时,

g(x) ? 81? f (1) ?

f (x) ? f (20) ? f (21) ?

? f (x ?1)

1x

?

10

81? 20 ? f (21) ?

? f (x ?1)

?

1x 10

?

2x

101? (x ? 21)(x ? 20) x2 ? x ?1600

20

∴当第 x 个月的当月利润率为

……………………7 分

?1

g(x)

?

?? ?

?

x ? 80 2x

?? x2 ? x ?1600

(1 ? x ? 20, x ? N *)
(21 ? x ? 60, x ? N *) ……………………………8 分

(Ⅲ)当1 ?

x

?

20

时,

g(x)

?

x

1 ? 80

是减函数,

此时

g(

x)

的最大值为

g (1)

?

1 81

当 21 ? x ? 60 时,

……………………… 9 分

2x

2

2

2

g(x) ? x2 ? x ?1600 ? x ? 1600 ?1 ? 2

? 1600 ?1 79

x

当且仅当

x

?

1600 x 时,即

x

?

40 时,

g ( x)max

?

2 79

,…………………12



2 79

?

1 81 ,∴当

x

?

40 时,

g ( x)max

?

2 79

………………………13 分

2 答:该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,最大值为 79 . …14 分



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