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海涅定理在极限判别及运算中的应用

发布时间:

第 1 卷第 1 8 期 20    0 6年 2月

皿庆邮电学院学报(                        自然科学版) Ju a o C ogi U i r t o Ps ad  eo m n a os t aSi c) or l  hnq g  v sy  ot n Tl m ui tn( a rl  ne n f  n n e i f  s  e c ci N u c e

Vo .   No 1 l1 8  . 

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文章编号 :0 45 9 (0 60-180 10-64 2 0 ) 103-3

H ie e 定理在极限判别及运算中的应用? n
( 重庆邮电学院, 重庆 406) 005
摘 要: 在极限判断与求解中, 函数极限与数列极限有许 多类似之处, e e H  定理就是联 系这二者的纽带。结合工 i n 科数 学分析教学实践, 通过实例介绍 H i 定理在优化极限判断及运算 中的应用, 出了 He e ee n 给 i 定理在极限运算 n
中的优越性。 关健词 : i 定理 ; He e n 极限运算; 应用

鲜思东                       

中图分类号: 12 07

文献标识码: A

0 引



2 判断函数极限不存在
Hei定理的推论是判断函数极限不存在的一      n e

He e      i 定理是沟通函数极限与数列极限之间的 n “ 桥梁” 。运用 H i 定理与数列极限的性质不仅 ee n 可以证明函数极限的相应性质 , 判断函数的极限是 否存在 , 还可 以运用 He e定理优化极 限的运算 i n 等。但许多教材或参考书未能给出其在极限运算中 的优越性。本文中我们结合教学实践, 给出在判别 极限及极限运算中运用 He e i 定理优越性的实例。 n

种非常好的方法〔e 4 - ]

例1证 :数 :巨s生x  {,    明函 了x i ,E 0 当 n R ) \
x  ̄ 0 时极限不存在 。

( 论 1     )构 造 一 个 数 列 {。:,= 推 “}“
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当x一 。 f的极限不存在。 时
( 推论 2 )


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0且 b : 0 有l ( ) 0 由定理 1 , A  i b = ,   , mf 的推论 2
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例2   

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了x 在 a () 也不存在极限[ 3 1 推论 3 函数 了 x 在 D内无界的充要条件是 : () 存在数列{ ) D, i f a) 0 e a C  使l (. “ m
收稿    日期 :0 50-7 20-62 修订 日期 :051-1 20-12

由定理 1 的推论 3 f在( ,」 知, ( 1 内无界。 0 若取 b = , ,
2  nr 7

,n 123 ")则 b E  ,]且 f ) 0 ( = ,,,", } ( 1 , ( 三 , " 0 b

墓金项目:    重庆邮电学院教育改革基金贵助项 目(J 00) X G 52 作者简介:    鲜思东(91 , 四川南部人, 17- 男, ) 讲师, 主要从事现代教育技术与应用数学研究。Em ix nd qp eu -a : s)cut d. li a . 

第1 期

鲜思东: e e H i 定理在极限判别及运算中的应用 n
+ ,          - 1 x  t r
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19    3

当n    b-  , ifb = 故当x +  ̄  时, 0 有l ( )  , o . + m 0 -0
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3 求极 限
极限运算是工科数学分析的核心内容,      这是 因 为导数是函数因变量与 自变量改变量之比的极限, 定( 积分是一个黎曼和的极限, 重) 级数的收敛问题 是通过转化为极限的存在问题解决的, 当地运用 恰 H n 定理及其推论能很好地实现优化极限运算的 ei e
目的。
l i m
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例 6        ()= 设 f  a
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解析

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由导数的定义 :
l i m l i m
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f  y 一fa = (+o ) () a
乙          y

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x 十1 2

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, i ma =+ 0 , 若”l fx 存在, i () m  则设 a = n 有 l      一 十山

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由 He e i 定理有 n

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重 庆 邮 电 学 院 学 报( 自然科学版)
1、         
4            1
二二之

第 1卷 8

l1 i m


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又 为 数E( 因级
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4 判断级数敛散性
级数实质是一个和式的极限,      因此运用 H n ei e
定理及其推论判断常数项级数的敛散性是一种有效
的方法 。


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n  收 。 - 敛 巴)

结束语
总之,      H n 定理及其推论[进行极限的 运用 ei e [ 8 ]

例7 判 级 断 数艺(
”今 1

I土 ) 敛 n  的 散 n二

判断与运算 , 能训练学生的创新思维及增强学生创 造性解决问题的能力, 达到提高工科数学分析的教 学实效的目的。
参考文献 :
尸 . L

性。

n1 2 , 解析 构造函数f  二二二 x — 1( +x) 当      () x x 0 f x 经过 T y r 一 时,( ) al 展开为 : o

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 --  

1 -4

应用〔 . J 高等数学 ] 研究, 0,()1 1. 2 253: - 0 89

(              责任编择: 龙能芬)

A pi t n  H n ter i i jdmet  c c ai       f ie  oy  l t  g n a d l lt n p l ai o e h c o n  mi u n au o
(hn g g i r t o P t n T e m u i t n , n g g  05P R C i              s ad  l o m n ai sC og i 406 ,  . n ) C og i U v sy  o s  e c n n e i f  c o h n 0 .  h a

M A S-o g                                 N i n d

A s atI l t  g g d l i ,  fnt n  t  may  iri wt rw  i bt c- i jd i a s u o te  c o l h s  n s l ie i o l t r n  mi u n n o t n h u i i mi a i a t s  h  i . m m

T e oy  e e h f t lk  to T iatlep r te lao iui ter h ter o H i ite  o  te  .  s c xl e h apctn  s g oy h f n s  i i h w e  n h r e  o s  p i i n n h i o He e  ug w e e te io nt as e qe i s ad  w avn gs H i f i tjde  t r  l t  o t nw r so , n so s at e o e e n o  h h h i r  o  m u tn h d a f  n ter ite ic cl i wt te cc t ci o m te ac aa s f eg er g hoy  h l f  n t n  h  pate  h g  a m ta nl i o ni e n. n  i a ao i h r i e n f  h i l  y s  m l a r  n i
K y rster o He el icl l i ; lai e w d:  y  i ; t c a o api t n o ho f  n i a u t n p c o m



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