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江西省景德镇市2013届高三上学期第二次质检数学(理)试题Word版含答案_图文

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景德镇市 2013 届高三第二次质检试题数 学(理) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟.
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,第小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3?, B ? ?2, 4? ,则(CuA)∪B 为( ).

A.?1, 2, 4?

B.?2,3, 4? C.?0, 2, 4? D.?0, 2,3, 4?

2.复数 z ? i 在复平面上对应的点位于( ). 1? i

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.学校要从高三(1)、(2)、(3),这三个班抽取 5 个人参加环保志愿者,每班至

少有一人参加,则不同的抽调方法有( )种.

A.3

B.4

C.5

D.6

4.已知函数 f (x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 两相邻对称轴间的距离为 6

2? ,则? 的值为( ).
3

A. 2 3

B. 3 2

C. 3? 2

D. 2? 3

? ? 5.设 ?an? , bn 分别为等差数列和等比数列,且 a1 ? b1 ? 4 ,

开始 S=1,k=1 S=S2+k

a4 ? b4 ? 1,则以下结论正确的是( ).

k=k+1

A.a2 ? b2

B. a3 ? b3

C.a5 ? b5

D.a6 ? b6 是

6.如图所示:若输出的 S 为 1525,则判断框内应填( ).

A. k ? 4

B. k ? 4

否 输出S

C. k ? 4

D. k ? 4

结束

7.函数 y ? ln x 的图象为( ).

y

y

x O

x O

A

B

y
x O
C

y
x O
D

A

B

C

D

8.如图长方体 ABCD ? A1 B1C1D1中,AB ? AA 1? 4 ,BC ? 1,

D1

E 为 C1C 的中点,一只蚂蚁从 A 出发沿表面到 E 点的最短 A1

路程为( ).

C1
B1 E

A. 21 C. 29

B. 5 D. 2 ? 17

D A

C B

9.以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心,交椭圆于点 M , N ,椭圆的 左焦点为 F1 ,且直线 MF1 与此圆相切,则椭圆的离心率 e 为( ).

A. 3 2

B. 2 ? 3

C. 2 2

D. 3 ?1

10.如图:已知方程为 x2 ? y2 ? 1的椭圆, A, B 为顶点,过右焦点的弦 MN 的长度 42

为 y ,中心 O 到弦 MN 的距离为 d ,点 M 从右顶点 A 开始按逆时针方向在椭圆上

移 动 到 B 停 止 , 当 0? ? ?MFA ? 90? 时 , 记 x ? d , 当 90? ? ?MFA ? 180? , 记
y
x ? 2 2 ? d ,函数 y ? f (x) 图像是( ).

M

B

A

x

O

F

N

y 4
3
2
1 x
O 1234
A

y 4
3
2
1 x
O 1234
B

y 4 3 2 1
O1

23
C

x 4

y 4 3 2 1
O1

23
D

x 4

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分.

? ? 11.若函数 f (x) 为偶函数,且 6 f (x)dx ?8 ,则 6 f (x)dx 等于

0

?6



12.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为1, 2,3, 4,5 的学生进行投篮练习,每人投

10 次,投中的次数如下表

学生

1号

2号

3号

4号

5号

甲班

6

7

7

乙班

6

7

6

则以上两组数据的方差中较小的一个方差 S 2 = 13.某几何体的三视图如图,则该几何体体积为

1
3 主视图

2
1 左视图

8

7

7

9





1 俯视图

14.设双曲线

x2

?

y2 3

? 1 的左右焦点分别为

F1, F2



P

是直线

x

?

4

上的动点,若

?F1PF2 ? ? ,则? 的最大值为



三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,按第一题评阅计分, 本题共 5 分.

15.(1)设曲线

C

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

2 ? 3cos? ?1? 3sin?

(?  为参数 ) ,直线 l 的方程为

3x ? 4 y ?10 ? 0 ,则曲线 C 上的动点 P(x , y) 到直线 l 的距离的最大值为



(2)若存在实数 x 满足不等式 x ? 3 ? x ? 5 ? m2 ? m ,则实数 m 的取值范围





四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

16.(本小题满分 12 分)

已知 ?ABC 中三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,满足 tan A ? tan B ? b ? c . tan A ? tan B c
(1)求 ?A 的值;

(2)若 a ? 3 ,求 S?ABC 的最大值.

17.(本小题满分 12 分)

甲、乙、丙、丁四人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局四人同时出剪刀、

石头、布中的一种手势,且是相互独立的,设在一局中甲赢的人数为? .

(1)在一局中甲恰好赢 3 人的概率; (2)列出随机变量? 的分布列并求 E? .

B1

C1

B A

C D

18.(本小题满分 12 分)
已知等腰直角三角形 ABC 中, ?BAC ? 90? , D 为 AC 的中点,正方形 BCC 1B1 与 ABC 所在的平面垂直, AB ? 2 . (1)求证 AB1 平行平面 DBC1 ; (2)求 DC1 与平面 ABC1 夹角的正弦值.

19.(本小题满分 12 分)

设 数 列 ?an? 为 等 差数 列 , ?bn? 为 单 调 递增 的等 比 数列 , 且 a1 ? a2 ? a3 ? ?27 ,
b1b2b3 ? 512 , a1?b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 .
(1)求 a2 ? b2 的值及数列?an? ,?bn? 的通项;

(2)若 cn

?

(bn

?

bn 2)(bn

?1)

,求数列?cn? 的前 n

项和

Sn



20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,离心率 e ? 2 ,椭圆上的点到 焦点的最短距离为 2 ? 2 , 直线 l 经过 y 轴上一点 M (0, m) ,且2与椭圆 C 交于相异 两点 A, B ,且 AM ? 3MB . (1) 求椭圆的标准方程; (2) 求 m 的取值范围.
21. (本小题满分 14 分) 设 f (x) ? ln(x2 ?1) , g(x) ? 1 x2 ? 1
22 (1) 求 F (x) ? f (x) ? g(x) 的单调区间,并证明对 [?1,1] 上的任意 x1, x 2 , x3 ,都有
F (x1) ? F (x 2 ) ? F (x3 ) ; (2) 将 y ? f (x) 的图像向下平移 a( a ? 0 )个单位,同时将 y ? g(x) 的图像向上
平移 b ( b ? 0 )个单位,使它们恰有四个交点,求 a ?1 的取值范围. b ?1

答案 一、选择题:本大题共 10 小题,第小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的. CADBA BCBDB 二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分.

11.16

12. 2 5

13. 7 2

14. ? 6

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分, 本题共 5 分.

15.(1) 7

(2) (??, ?1) (2, ??)

四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

16、解:(1) tan A ? tan B ? sin B ? sin C ? sin Acos B ? cos Asin B ? sin B ? sin C

tan A ? tan B

sin C

sin Acos B ? cos Asin B

sin C

? sin Acos B ? cos Asin B ? sin B ? sin Acos B ? cos Asin B

? ?2 cos Asin B ? sin B ? cos A ? ? 1 ? A ? 120 …………………6 分 2

(2) a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 3 ? b2 ? c2 ? bc ? 3bc

? bc ? 1

∴ S?ABC

?

1 bcsin 2

A

?

3 4

当 b ? c 时, S?ABC 的最大值为

3 …………………12 分 4

17.

解:(1) P(?

?

3)

?

C31 34

? 1 …………………4 分 27

(2) P(? ? 0) ? C31 ? 23 ? 8 …………………6 分 34 27

P(? ? 1) ? C31 ? C31 ? 22 ? 12 ? 4 …………………8 分

34

27 9

P(?

?

2)

?

C31

? C32 34

?2

?

6 27

?

2 9

…………………10



P(?

?

3)

?

C31 34

?

1 27

?

0

1

2

3

P

8

4

2

1

27

9

9

27

(2) E? ? 1? 4 ? 2? 2 ? 3? 1 ? 1.…………………12 分 9 9 27

18.解:(1)连 B1C ,设 B1C 交 BC 1 于 O ,连 OD 则 OD // AB1 , OD ? 面BDC1 ,得 AB1 平行平面 DBC1 …………………6 分

(2)VD? ABC1 ? VC1? ABD

得 D 到面 ABC1 的距离为

6 …………………10 分 3

DC1 ? 3, ?

DC1 与 ABC1 夹角的正弦为

6 …………………12 分 9

方法二 如图建立坐标系 AB ? (0, 2, 0) , AC1 ? (2, 0, 2 2) , DC1 ? (1, 0, 2 2) ,…………………6 分

设平面 ABC 1 的法向量 n ? (x, y, z)



??n ?

AB

?

0

?

?? y ? 0 ?

??n AC1 ? 0

??2x ? 2 2z ? 0

Z

B1

C1

令 x ? ? 2 ,得 z ? 1, n ? (? 2, 0,1) …………………

9分

Y

X

cos ? n, DC1

??

n n

DC1 DC1

?

6 …………………11 分 9

B A

D

C

?

DC1 与平面 ABC1 夹角的正弦为

6 …………………12 分 9

19. 解:(1)由题意得 a2 ? ?9 , b 2 ? 8

所以 a2 ? b2 ? ?1 …………………2 分

设 a 1? ?9 ? d , a3 ? ?9 ? d ,

b

1?

8 q



b 3 ? 8q ,



???9 ? ???9

? ?

d d

? 8 ?1 q
? 8q ? 1

解得

?q ??d

? ?

2 ?6



??q ? ??d

? ?

1 2 6

(舍去)

an ? ?3 ? (n ?1) ? (?6) ? 3 ? 6n

bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1

…………………6 分

(2) cn

?

(bn

bn ? 2)(bn

?1)

?

(2n?1

2n?1 ? 2)(2n?1

? 1)

?

(2n

2n ?1)(2n?1

?1)

?

1 2n ?1

?

1 2n?1 ?1

? Sn ? c1 ? c 2 ?c 3 ? ? cn



(

1 2 ?1

?

1

22

) ?1

?

(

1 22 ?1

?

1

23

?

) 1

?

?

(

1 2n ?

1

?

1 2n?1

?

) 1

=1?

1 2n?1 ?1

?

2n?1 ? 2 2n?1 ?1

.…………………12



20. 解:(1)设 C : x2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2
由条件得 a ? c ? 2 ? 2 , e ? c ? 2 a2
? a ? 2,b ? c ? 2 ? 椭圆的方程: x2 ? y2 ? 1…………………4 分
24

(2)当直线斜率不存在时, m ? ?1

…………………5 分

当直线斜率存在时,设直线 l 与椭圆 C 交点为 A(x1, y1), B(x2, y2 )

?

?y ?

? ?2

x

2

kx ? ? y2

m ?

4

?

(k

2

?

2)

x2

?

2kmx

?

(m2

?

4)

?

0

? ? 8(2k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ※

x1

?

x2

?

?2km k2 ?2



x1x2

?

m2 k2

?4 ?2

② …………………7 分

AM ? 3MB ? ? x1 ? 3x2 ③ 由①、②、③消去 x1, x2

得 3( km )2 ? m2 ? 4 ? 0 k2 ?2 k2 ?2
? 4k 2 (m2 ?1) ? 2m2 ? 8 ? 0

…………………9 分

m2 ? 1时,上式不成立,

m2

? 1 时,

k2

?

8 ? 2m2 4(m2 ?1)

?

4 ? m2 2(m2 ?1)

?

0

得 ?2 ? m ? ?1或 1 ? m ? 2 …………………11 分



k2

?

4 ? m2 2(m2 ?1)

代入※



2[

4 ? m2 2(m2 ?1)

]

?

m2

?

4

?

0

解得 ?2 ? m ? ?1或1 ? m ? 2 综上: m 的范围为 ?2 ? m ? ?1或1 ? m ? 2

…………………13 分

21. 解:(1) F (x) ? ln(x2 ?1) ? 1 x2 ? 1 22

2x

x(x ?1)(x ?1)

F?(x) ?

?x??

x2 ?1

x2 ?1

F?(x) , F (x) 取值变化如下表

x

(??, ?1)

(?1, 0)

(0,1)

(1, ??)

F ?( x)

?

?

?

?

F ( x)

故 F (x) 在 (??, ?1) 和 (0,1) 上分别递增, 在 (?1, 0) 和 (1,??) 上分别递减…………………4 分

在 [?1,1] 上

F (x) 的最小值

F (x)min

?

F (0)

?

1 2

F (x) 的最大值 F (x)max ? F (1) ? F (?1) ? ln 2

所以 F (x1) ? F (x 2 ) ? 2F (x)min ? 1

而 F (x3 ) ? F (x)max ? ln 2

故 F (x1) ? F (x 2) ? F (x3) …………………6 分

(2)由题意 即 y ? ln(x2 ?1) ? a 与 y ? 1 x2 ? 1 ? b 的图像恰有四个交点 22

由 ln(x2 ?1) ? a ? 1 x2 ? 1 ? b 22

? a ? b ? ln(x2 ?1) ? 1 x2 ? 1 ? F (x) 22

由(1)

F (x)极小值

?

F (0)

?

1 2

,

y
F (x)极大值 ? F (1) ? ln 2

又 F (4) ? F (?4) ? 0 ? F (0) 所以 F(x) 的大致图像为…………………8

ln2 1 2
x

-1

1



如图使 y ? a ? b 与 y ? F (x) 恰有四个交点,



1 2

?

a

?

b

?

ln

2

,由

?1

? ?

2

?a

??b

?
? ?

a
0 0

?

b

?

ln

2

a
1

?

得 (b, a) 的可行域如图…………………12 分

–1

O

1

b

又 a ?1 可视为点 P(?1, ?1) 与可行域内的点连线的

b ?1

–1

斜率 故 1 ? a ?1 ? 1? ln 2 .…………………14 分
1? ln 2 b ?1



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