江西省景德镇市2013届高三上学期第二次质检数学(理)试题Word版含答案_图文

景德镇市 2013 届高三第二次质检试题数 学（理） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时 间 120 分钟．
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 10 小题，第小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U ? ?0,1, 2,3, 4? ，集合 A ? ?1, 2,3?, B ? ?2, 4? ，则(CuA)∪B 为（ ）．

A．?1, 2, 4?

B．?2,3, 4? C．?0, 2, 4? D．?0, 2,3, 4?

2．复数 z ? i 在复平面上对应的点位于（ ）． 1? i

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．学校要从高三（1）、（2）、（3），这三个班抽取 5 个人参加环保志愿者，每班至

少有一人参加，则不同的抽调方法有（ ）种．

A．3

B．4

C．5

D．6

4．已知函数 f (x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 两相邻对称轴间的距离为 6

2? ，则? 的值为（ ）．
3

A． 2 3

B． 3 2

C． 3? 2

D． 2? 3

? ? 5.设 ?an? ， bn 分别为等差数列和等比数列，且 a1 ? b1 ? 4 ，

开始 S＝1，k=1 S＝S2＋k

a4 ? b4 ? 1，则以下结论正确的是（ ）．

k=k+1

A．a2 ? b2

B． a3 ? b3

C．a5 ? b5

D．a6 ? b6 是

6.如图所示：若输出的 S 为 1525，则判断框内应填（ ）．

A． k ? 4

B． k ? 4

否 输出S

C． k ? 4

D． k ? 4

结束

7.函数 y ? ln x 的图象为（ ）．

y

y

x O

x O

A

B

y
x O
C

y
x O
D

A

B

C

D

8.如图长方体 ABCD ? A1 B1C1D1中，AB ? AA 1? 4 ，BC ? 1，

D1

E 为 C1C 的中点，一只蚂蚁从 A 出发沿表面到 E 点的最短 A1

路程为（ ）．

C1
B1 E

A． 21 C． 29

B． 5 D． 2 ? 17

D A

C B

9．以椭圆的右焦点 F2 为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点 M , N ，椭圆的 左焦点为 F1 ，且直线 MF1 与此圆相切，则椭圆的离心率 e 为（ ）．

A． 3 2

B． 2 ? 3

C． 2 2

D． 3 ?1

10．如图：已知方程为 x2 ? y2 ? 1的椭圆， A, B 为顶点，过右焦点的弦 MN 的长度 42

为 y ，中心 O 到弦 MN 的距离为 d ，点 M 从右顶点 A 开始按逆时针方向在椭圆上

移 动 到 B 停 止 ， 当 0? ? ?MFA ? 90? 时 ， 记 x ? d ， 当 90? ? ?MFA ? 180? ， 记
y
x ? 2 2 ? d ，函数 y ? f (x) 图像是（ ）．

M

B

A

x

O

F

N

y 4
3
2
1 x
O 1234
A

y 4
3
2
1 x
O 1234
B

y 4 3 2 1
O1

23
C

x 4

y 4 3 2 1
O1

23
D

x 4

二、填空题：本大题共 4 小题，第小题 5 分，共 20 分．

? ? 11．若函数 f (x) 为偶函数，且 6 f (x)dx ?8 ，则 6 f (x)dx 等于

0

?6

．

12．某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为1, 2,3, 4,5 的学生进行投篮练习，每人投

10 次，投中的次数如下表

学生

1号

2号

3号

4号

5号

甲班

6

7

7

乙班

6

7

6

则以上两组数据的方差中较小的一个方差 S 2 ＝ 13．某几何体的三视图如图，则该几何体体积为

1
3 主视图

2
1 左视图

8

7

7

9

．

．

1 俯视图

14．设双曲线

x2

?

y2 3

? 1 的左右焦点分别为

F1, F2

，

P

是直线

x

?

4

上的动点，若

?F1PF2 ? ? ，则? 的最大值为

．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分， 本题共 5 分．

15．（1）设曲线

C

的参数方程为

? ? ?

x y

? ?

2 ? 3cos? ?1? 3sin?

(? 　为参数 ) ，直线 l 的方程为

3x ? 4 y ?10 ? 0 ，则曲线 C 上的动点 P(x , y) 到直线 l 的距离的最大值为

．

（2）若存在实数 x 满足不等式 x ? 3 ? x ? 5 ? m2 ? m ，则实数 m 的取值范围

是

．

四、解答题：本大题共 6 题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤．

16．（本小题满分 12 分）

已知 ?ABC 中三个内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，满足 tan A ? tan B ? b ? c . tan A ? tan B c
（1）求 ?A 的值；

（2）若 a ? 3 ，求 S?ABC 的最大值.

17．（本小题满分 12 分）

甲、乙、丙、丁四人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局四人同时出剪刀、

石头、布中的一种手势，且是相互独立的，设在一局中甲赢的人数为? ．

（1）在一局中甲恰好赢 3 人的概率； （2）列出随机变量? 的分布列并求 E? ．

B1

C1

B A

C D

18．（本小题满分 12 分）
已知等腰直角三角形 ABC 中， ?BAC ? 90? ， D 为 AC 的中点，正方形 BCC 1B1 与 ABC 所在的平面垂直， AB ? 2 ． （1）求证 AB1 平行平面 DBC1 ； （2）求 DC1 与平面 ABC1 夹角的正弦值．

19．（本小题满分 12 分）

设 数 列 ?an? 为 等 差数 列 ， ?bn? 为 单 调 递增 的等 比 数列 ， 且 a1 ? a2 ? a3 ? ?27 ，
b1b2b3 ? 512 ， a1?b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ．
（1）求 a2 ? b2 的值及数列?an? ，?bn? 的通项；

（2）若 cn

?

(bn

?

bn 2)(bn

?1)

，求数列?cn? 的前 n

项和

Sn

．

20. （本小题满分 13 分） 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ，焦点在 y 轴上，离心率 e ? 2 ，椭圆上的点到 焦点的最短距离为 2 ? 2 ， 直线 l 经过 y 轴上一点 M (0, m) ，且2与椭圆 C 交于相异 两点 A, B ，且 AM ? 3MB ． （1） 求椭圆的标准方程； （2） 求 m 的取值范围．
21. （本小题满分 14 分） 设 f (x) ? ln(x2 ?1) ， g(x) ? 1 x2 ? 1
22 （1） 求 F (x) ? f (x) ? g(x) 的单调区间，并证明对 [?1,1] 上的任意 x1, x 2 , x3 ，都有
F (x1) ? F (x 2 ) ? F (x3 ) ； （2） 将 y ? f (x) 的图像向下平移 a（ a ? 0 ）个单位，同时将 y ? g(x) 的图像向上
平移 b （ b ? 0 ）个单位，使它们恰有四个交点，求 a ?1 的取值范围． b ?1

答案 一、选择题：本大题共 10 小题，第小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的． CADBA BCBDB 二、填空题：本大题共 4 小题，第小题 5 分，共 20 分．

11．16

12． 2 5

13． 7 2

14． ? 6

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分， 本题共 5 分．

15．（1） 7

（2） (??, ?1) (2, ??)

四、解答题：本大题共 6 题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤．

16、解：（1） tan A ? tan B ? sin B ? sin C ? sin Acos B ? cos Asin B ? sin B ? sin C

tan A ? tan B

sin C

sin Acos B ? cos Asin B

sin C

? sin Acos B ? cos Asin B ? sin B ? sin Acos B ? cos Asin B

? ?2 cos Asin B ? sin B ? cos A ? ? 1 ? A ? 120 …………………6 分 2

（2） a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 3 ? b2 ? c2 ? bc ? 3bc

? bc ? 1

∴ S?ABC

?

1 bcsin 2

A

?

3 4

当 b ? c 时， S?ABC 的最大值为

3 …………………12 分 4

17.

解：（1） P(?

?

3)

?

C31 34

? 1 …………………4 分 27

（2） P(? ? 0) ? C31 ? 23 ? 8 …………………6 分 34 27

P(? ? 1) ? C31 ? C31 ? 22 ? 12 ? 4 …………………8 分

34

27 9

P(?

?

2)

?

C31

? C32 34

?2

?

6 27

?

2 9

…………………10

分

P(?

?

3)

?

C31 34

?

1 27

?

0

1

2

3

P

8

4

2

1

27

9

9

27

（2） E? ? 1? 4 ? 2? 2 ? 3? 1 ? 1．…………………12 分 9 9 27

18．解：（1）连 B1C ，设 B1C 交 BC 1 于 O ，连 OD 则 OD // AB1 ， OD ? 面BDC1 ,得 AB1 平行平面 DBC1 …………………6 分

（2）VD? ABC1 ? VC1? ABD

得 D 到面 ABC1 的距离为

6 …………………10 分 3

DC1 ? 3, ?

DC1 与 ABC1 夹角的正弦为

6 …………………12 分 9

方法二 如图建立坐标系 AB ? (0, 2, 0) , AC1 ? (2, 0, 2 2) , DC1 ? (1, 0, 2 2) ，…………………6 分

设平面 ABC 1 的法向量 n ? (x, y, z)

由

??n ?

AB

?

0

?

?? y ? 0 ?

??n AC1 ? 0

??2x ? 2 2z ? 0

Z

B1

C1

令 x ? ? 2 ，得 z ? 1， n ? (? 2, 0,1) …………………

9分

Y

X

cos ? n, DC1

??

n n

DC1 DC1

?

6 …………………11 分 9

B A

D

C

?

DC1 与平面 ABC1 夹角的正弦为

6 …………………12 分 9

19. 解：（1）由题意得 a2 ? ?9 ， b 2 ? 8

所以 a2 ? b2 ? ?1 …………………2 分

设 a 1? ?9 ? d ， a3 ? ?9 ? d ，

b

1?

8 q

，

b 3 ? 8q ，

得

???9 ? ???9

? ?

d d

? 8 ?1 q
? 8q ? 1

解得

?q ??d

? ?

2 ?6

或

??q ? ??d

? ?

1 2 6

（舍去）

an ? ?3 ? (n ?1) ? (?6) ? 3 ? 6n

bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1

…………………6 分

（2） cn

?

(bn

bn ? 2)(bn

?1)

?

(2n?1

2n?1 ? 2)(2n?1

? 1)

?

(2n

2n ?1)(2n?1

?1)

?

1 2n ?1

?

1 2n?1 ?1

? Sn ? c1 ? c 2 ?c 3 ? ? cn

＝

(

1 2 ?1

?

1

22

) ?1

?

(

1 22 ?1

?

1

23

?

) 1

?

?

(

1 2n ?

1

?

1 2n?1

?

) 1

＝1?

1 2n?1 ?1

?

2n?1 ? 2 2n?1 ?1

．…………………12

分

20. 解：（1）设 C : x2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2
由条件得 a ? c ? 2 ? 2 ， e ? c ? 2 a2
? a ? 2,b ? c ? 2 ? 椭圆的方程： x2 ? y2 ? 1…………………4 分
24

（2）当直线斜率不存在时， m ? ?1

…………………5 分

当直线斜率存在时，设直线 l 与椭圆 C 交点为 A(x1, y1), B(x2, y2 )

?

?y ?

? ?2

x

2

kx ? ? y2

m ?

4

?

(k

2

?

2)

x2

?

2kmx

?

(m2

?

4)

?

0

? ? 8(2k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ※

x1

?

x2

?

?2km k2 ?2

①

x1x2

?

m2 k2

?4 ?2

② …………………7 分

AM ? 3MB ? ? x1 ? 3x2 ③ 由①、②、③消去 x1, x2

得 3( km )2 ? m2 ? 4 ? 0 k2 ?2 k2 ?2
? 4k 2 (m2 ?1) ? 2m2 ? 8 ? 0

…………………9 分

m2 ? 1时，上式不成立，

m2

? 1 时，

k2

?

8 ? 2m2 4(m2 ?1)

?

4 ? m2 2(m2 ?1)

?

0

得 ?2 ? m ? ?1或 1 ? m ? 2 …………………11 分

把

k2

?

4 ? m2 2(m2 ?1)

代入※

得

2[

4 ? m2 2(m2 ?1)

]

?

m2

?

4

?

0

解得 ?2 ? m ? ?1或1 ? m ? 2 综上： m 的范围为 ?2 ? m ? ?1或1 ? m ? 2

…………………13 分

21. 解：（1） F (x) ? ln(x2 ?1) ? 1 x2 ? 1 22

2x

x(x ?1)(x ?1)

F?(x) ?

?x??

x2 ?1

x2 ?1

F?(x) , F (x) 取值变化如下表

x

(??, ?1)

(?1, 0)

(0,1)

(1, ??)

F ?( x)

?

?

?

?

F ( x)

故 F (x) 在 (??, ?1) 和 (0,1) 上分别递增， 在 (?1, 0) 和 (1,??) 上分别递减…………………4 分

在 [?1,1] 上

F (x) 的最小值

F (x)min

?

F (0)

?

1 2

F (x) 的最大值 F (x)max ? F (1) ? F (?1) ? ln 2

所以 F (x1) ? F (x 2 ) ? 2F (x)min ? 1

而 F (x3 ) ? F (x)max ? ln 2

故 F (x1) ? F (x 2) ? F (x3) …………………6 分

(2)由题意 即 y ? ln(x2 ?1) ? a 与 y ? 1 x2 ? 1 ? b 的图像恰有四个交点 22

由 ln(x2 ?1) ? a ? 1 x2 ? 1 ? b 22

? a ? b ? ln(x2 ?1) ? 1 x2 ? 1 ? F (x) 22

由（1）

F (x)极小值

?

F (0)

?

1 2

,

y
F (x)极大值 ? F (1) ? ln 2

又 F (4) ? F (?4) ? 0 ? F (0) 所以 F(x) 的大致图像为…………………8

ln2 1 2
x

-1

1

分

如图使 y ? a ? b 与 y ? F (x) 恰有四个交点，

则

1 2

?

a

?

b

?

ln

2

，由

?1

? ?

2

?a

??b

?
? ?

a
0 0

?

b

?

ln

2

a
1

?

得 (b, a) 的可行域如图…………………12 分

–1

O

1

b

又 a ?1 可视为点 P(?1, ?1) 与可行域内的点连线的

b ?1

–1

斜率 故 1 ? a ?1 ? 1? ln 2 ．…………………14 分
1? ln 2 b ?1